要衡量什么
知道一组数据的平均值还不够——还需要知道数据有多分散。
例子：
- A 组：10, 10, 10, 10 → 均值 10；
- B 组：0, 20, 0, 20 → 均值 10；
- C 组：-10, 30, 0, 20 → 均值 10。
三组均值相同，但离散程度差别很大。
方差
方差（Variance）：各数据与均值之差的平方的平均值。
公式（总体方差）：
σ² = Σ(xi - μ)² / N
为什么要平方：
- 如果直接取差值，正负会相互抵消（如 -10 和 +10 的平均是 0）；
- 用绝对值也可以（那叫平均绝对偏差），但平方有更好的数学性质（可导，便于优化）。
问题：方差的单位是原单位的平方——如身高的方差单位是"平方厘米"，不直观。
标准差
标准差（Standard Deviation）：方差的平方根。
σ = √(σ²)
优点：单位恢复到原始单位——比如身高标准差是 8 厘米，直观可理解。
含义：数据点与均值的"典型距离"（大致如此）。
样本 vs 总体
总体方差：除以 N。
样本方差：除以 n - 1（贝塞尔校正）。
为什么：
用样本均值代替总体均值时，会系统性低估离散程度（因为样本均值本身就是按这批数据"拟合"出来的，数据到样本均值的距离，平均而言小于到真实均值的距离）。
除以 n-1 可以修正这个偏差，得到总体方差的无偏估计。
实践含义：大多数统计软件和库默认用 n-1（样本标准差）。
68–95–99.7 法则
对正态分布：
- 约 68% 落在 ±1σ；
- 约 95% 落在 ±2σ；
- 约 99.7% 落在 ±3σ。
注意：这个法则只适用于正态分布（或近似正态的数据）。
对于任意分布，有一个更宽松的界限：
切比雪夫不等式：对任何分布，至少有 1 - 1/k² 的数据落在均值 ±kσ 内。
- k=2：至少 75%；
- k=3：至少 89%。
这个界限弱得多，但适用于所有分布——这正是不假设分布形态时所需要的保守估计。
其它离散程度指标
一、极差（Range）：最大值 - 最小值。简单，但对异常值极敏感。
二、四分位距（IQR）：第 75 百分位 - 第 25 百分位。
对异常值稳健——这是箱线图的基础。
三、平均绝对偏差（MAD）：|xi - μ| 的平均。单位直观，但数学性质不如方差。
四、变异系数（CV）：σ / μ。
用途：比较不同量纲或不同均值的数据集的离散程度。
例子：比较"大象体重的波动"和"老鼠体重的波动"——绝对标准差不可比，但变异系数可比。
实用提醒
一、标准差对异常值敏感
因为用了平方，一个极端值会显著拉大标准差。
如果数据有异常值，考虑用 IQR 或中位数绝对偏差（Median Absolute Deviation）等稳健指标。
二、标准差不是"错误范围"
标准差描述的是数据本身的离散程度，不是"均值的误差"。
均值的标准误（Standard Error） = σ / √n ——这才是"用样本均值估计总体均值的误差"。
混淆标准差和标准误是常见的错误，会导致对统计结果的误读。
三、在风险评估中，关注"尾部"而非标准差
标准差只概括了整体的离散程度。在风险管理中，真正重要的是极端情况下的损失——需要看分位数（如 VaR）和分布形态，而非仅看标准差。
说明：本文为统计学的知识整理。